Question

【題目】已知雙曲線y=（x＞0），直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+ ．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；
（2）
若AB= ， 求k的值；
（3）設(shè)N（0，2），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時(shí)P的坐標(biāo)．
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）則A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=）

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)k=-1時(shí)，l1：y=﹣x+2，

聯(lián)立得，，化簡(jiǎn)得x2﹣2x+1=0，

解得：x1=﹣1，x2=+1，

設(shè)直線l1與y軸交于點(diǎn)C，則C（0，2）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=2（x2﹣x1）=2；

（2）

解：根據(jù)題意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB==

=

=，

將①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=；

（3）

解：∵直線l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）過定點(diǎn)F,

∴ F（，）.

如圖：

設(shè)P（x，），則M（﹣+，），

則PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當(dāng)點(diǎn)P在NF上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)NF的方程為y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴當(dāng)P（﹣1，+1）時(shí)，PM+PN最小值是2．

【解析】（1）將l1與y=組成方程組，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出△OAB的面積；
（2）根據(jù)題意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2k2+5k+2=0，從而求出k的值；
（3）設(shè)P（x，），則M（﹣+ ， ），根據(jù)PM=PF，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．