Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B坐標(biāo)為（6，0）、（0，6），P為線段AB上的一點(diǎn)．

（1）如圖1，若P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是OA、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，且保持AM＝ON，則在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，探究線段PM、PN之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（2）如圖2，若P為線段AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，過B點(diǎn)作BD⊥OP，交OP、OA分別于F、D兩點(diǎn)，E為OA上一點(diǎn)，且∠PEA＝∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）PM＝PN，PM⊥PN，理由詳見解析；（2）OD＝AE，理由詳見解析．

【解析】

（1）連接OP．只要證明△PON≌△PAM即可解決問題；

（2）作AG⊥x軸交OP的延長(zhǎng)線于G．由△DBO≌△GOA，推出OD＝AG，∠BDO＝∠G，再證明△PAE≌△PAG即可解決問題；

解：（1）結(jié)論：PM＝PN，PM⊥PN．理由如下：

如圖1中，連接OP．

∵A、B坐標(biāo)為（6，0）、（0，6），

∴OB＝OA＝6，∠AOB＝90°，

∵P為AB的中點(diǎn)，

∴OP＝AB＝PB＝PA，OP⊥AB，∠PON＝∠PAM＝45°，

∴∠OPA＝90°，

在△PON和△PAM中，，

∴△PON≌△PAM（SAS），

∴PN＝PM，∠OPN＝∠APM，

∴∠NPM＝∠OPA＝90°，

∴PM⊥PN，PM＝PN．

（2）結(jié)論：OD＝AE．理由如下：

如圖2中，作AG⊥x軸交OP的延長(zhǎng)線于G．

∵BD⊥OP，

∴∠OAG＝∠BOD＝∠OFD＝90°，

∴∠ODF+∠AOG＝90°，∠ODF+∠OBD＝90°，

∴∠AOG＝∠DBO，

∵OB＝OA，

∴△DBO≌△GOA，

∴OD＝AG，∠BDO＝∠G，

∵∠BDO＝∠PEA，

∴∠G＝∠AEP，

在△PAE和△PAG中，，

∴△PAE≌△PAG（AAS），

∴AE＝AG，

∴OD＝AE．