數(shù)學(xué)課上,李老師出示范了如下框中的題目.
 
小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:
(1)特殊情況,探索結(jié)論
當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:AE      DB(填“>”、“<”或“=”);

(2)特例啟發(fā),解答題目
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE      DB(填“>”、“<”或“=”).理由如下:
如圖2過點E作EF∥BC,交AC于點F;(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).
(1)=;(2)=;(3)1或3

試題分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠D=∠ECB=30°,∠ABC=60°,求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可得到答案;
(2)作EF∥BC,證出等邊三角形AEF,再證△DBE≌△EFC即可得到答案;
(3)分為四種情況:畫出圖形,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出符合條件的CD即可.
(1)答案為:AE=DB;
(2)答案為:AE=DB
證明:在等邊△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°,
∴AE=AF=EF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,
∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∴∠BED=∠FCE,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=BD.
(3)分為四種情況:
如圖1:

∵AB=AC=1,AE=2,
∴B是AE的中點,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根據(jù)直角三角斜邊的中線等于斜邊的一半),
∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°,
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所對的直角邊等于斜邊的一半),
即CD=1+2=3.
如圖2,
過A作AN⊥BC于N,過E作EM⊥CD于M,

∵等邊三角形ABC,EC=ED,
∴BN=CN=BC=,CM=MD=CD,AN∥EM,
∴△BAN∽△BEM,

∵△ABC邊長是1,AE=2,
,解得
∴CM=MN-CN=1-=,
∴CD=2CM=1;
如圖3,

∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能等于120°,否則△EDC不符合三角形內(nèi)角和定理,
∴此時不存在EC=ED;
如圖4

∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECD>∠EDC,
即此時ED≠EC,
∴此時情況不存在,
答:CD的長是3或1.
點評:本題綜合性較強,難度較大,是中考常見題,綜合運用考點中的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵.
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