【題目】在△ABC中,AB=AC=5,cos∠ABC=0.6,將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),得到△A1B1C.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時.①求證:BB1∥CA1;②求△AB1C的面積;
(2)如圖2,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段AB上的動點(diǎn),在△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)過程中,點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1 , 求線段EF1長度的最大值與最小值的差.

【答案】
(1)①證明:∵AB=AC,B1C=BC,

∴∠BB1C=∠B,∠B=∠ACB,

∵∠A1CB1=∠ACB(旋轉(zhuǎn)角相等),

∴∠BB1C=∠A1CB1,

∴BB1∥CA1,

②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,

∵AB=AC,AF⊥BC,

∴BF=CF,

∵cos∠ABC=0.6,AB=5,

∴BF=3,

∴BC=6∴B1C=BC=6

∵CE⊥AB,

∴BE=B1E= ×6= ,

∴BB1= ,CE= ,

∴AB1=

∴△AB1C的面積為: =


(2)解:如圖3,

過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值.

此時在Rt△BFC中,CF=4.8,

∴CF1=4.8,

∴EF1的最小值為4.8﹣3=1.8;

如圖,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',EF1'有最大值.

此時EF1'的最大值為EC+CF1'=3+6=9,

∴線段EF1的最大值與最小值的差為9﹣1.8=7.2.


【解析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證得BB1∥CA1;②過A作AF⊥BC于F,過C作CE⊥AB于E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形及三角形的面積公式,即可求得答案。
(2)此題轉(zhuǎn)化到圓中求解,過C作CF⊥AB于F,以C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,可求得EF1的最小值,以C為圓心BC為半徑畫圓交BC的延長線于F1',求得EF1'的最大值,即可求得線段EF1的最大值與最小值的差。

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