Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，4)，且經(jīng)過點(diǎn)N(2，3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形？并對(duì)你得到的結(jié)論予以證明；

(3)直線y=mx+2與拋物線交于T，Q兩點(diǎn)．是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)； (2)四邊形CDAN是平行四邊形，證明見解析；(3)存在，m=

【解析】

(1)根據(jù)頂點(diǎn)式設(shè)拋物線解析式為()2+4，將N(2，3)代入求，確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
(2)根據(jù)M、C兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線解析式，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，求線段AD，由C、N兩點(diǎn)坐標(biāo)可知CN∥軸，再求CN，證明CN與AD平行且相等，判斷斷四邊形CDAN是平行四邊形；
(3)存在．如圖設(shè)T(，)，Q(，)，分別過T、Q作TF⊥軸，QG⊥軸，聯(lián)立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得，，，之間的關(guān)系，當(dāng)以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠TOQ=90°，利用互余關(guān)系可證△TOF∽△QOG，利用相似比得出線段關(guān)系，結(jié)合，，，之間的關(guān)系求m的值．

(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，4)，設(shè)拋物線解析式為)2+4，
將N(2，3)代入，得(2-1)2+4=3，解得，
∴拋物線解析式為)2+4，即，
令，得，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，
令，得

解得：或3，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)；

(2)四邊形CDAN是平行四邊形．
理由：

將點(diǎn)C(0，3)，M(1，4)，代入直線中，得，
解得，

∴直線CM解析式為，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3，0)，
∵C(0，3)，N(2，3)，

∴CN∥x軸，且，
又∵A(-1，0)，D(-3，0)，

∴AD=-1-(-3)=2，
∴四邊形CDAN是平行四邊形；

(3)存在．
如圖設(shè)T(，)，Q(，)，分別過T、Q作TF⊥軸，QG⊥軸，

聯(lián)立，

整理得，
∴，，
當(dāng)以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠TOQ=90°，
∴∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
∴∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
∴△TOF∽△QOG，

∴，即，

∴，即，
整理得：，
∴，整理，得，
解得，

故存在實(shí)數(shù)使以線段TQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)．