Question

已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；
（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使上△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過程）．

Answer 1

分析：（1）利用交點(diǎn)式可以求出二次函數(shù)解析式，再利用公式法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）運(yùn)用兩點(diǎn)求出直線BM解析式，再表示出四邊形面積，
（3）根據(jù)使△PAC為直角三角形，三個(gè)角依次分析當(dāng)?shù)扔谥苯菚r(shí)，得出不同結(jié)論．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴y=x²-x-2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，-

9

4

）；

（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為：y=kx+b（k≠0），
點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（h，-t），
則

0=2k+b - 9 4 = 1 2 k+b

，
解它們組成的方程組得：

k= 3 2 b=-3

，
所以線段BM所在的直線的解析式為：y=

3

2

x-3，
N點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-t，
∴-t=

3

2

h-3，
∴h=2-

2

3

t，
其中

1

2

＜h＜2，
∴s=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）（2-

2

3

t）=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∴s與t間的函數(shù)解析式為，
s=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)是（

1

2

，-

9

4

）；
∴QN最大值為：

9

4

，
∴自變量的取值圍是：0＜t＜

9

4

；

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是：P₁（

5

2

，

7

4

），P₂（

3

2

，-

5

4

）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，n），則 n=m²-m-2，PA²=（m+1）²+n²
PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下幾種情況討論：
（ⅰ）若∠ACP=90°則AP²=PC²+AC²．
可得：m²+（n+2）²+（m+1）²+n²=5，
解得：m1=

5

2

，m₂=-1（舍去）．
所以點(diǎn)P（

5

2

，

7

4

）
（ⅱ）若∠PAC=90°，則PC²=PA²+AC²
∴n=m²-m-2
（m+1）²+n²=m²+（n+2）²+5
解得：m3=

3

2

，m₄=0（舍去）．所以點(diǎn)P（

3

2

，-

5

4

）．
（ⅲ）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時(shí)，PA＞AC，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．

（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對邊上，
如圖，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)P（-1，-2），以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩頂點(diǎn)，
第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對邊上，
如圖，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是P₁（-1，-2），P₂（-

1

5

，

2

5

）或
（

4

5

，-

8

5

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算，四邊形面積計(jì)算，矩形的性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)．