Question

In the figure1，ABCD is a diamond，points E and F lie on its sides AB and BC respectively，such that

AE

BE

=

BF

CF

，and△DEFis a regular triangle． Then∠BADis equal to （　　）（英漢小詞典：diamond菱形；regular triangle正三角形）

• A、40°
• B、60°
• C、80°
• D、100°

Answer 1

分析：根據(jù)菱形ABCD中，

AE

BE

=

BF

FC

，和AB=BC，等邊△DEF，利用余弦定理可以求出，即可得∠BAD的值．

解答：解：設(shè)菱形ABCD邊長(zhǎng)為x，AE=a，等邊△DEF邊長(zhǎng)為y，
∵

AE

BE

=

BF

FC

，AB=BC，
∴AE=FB，BE=CF，
∴AE=BF=a，BE=CF=x-a，
∵△DEF是正三角形，
∠A=∠C，∠B=180°-∠A，
cosA=cos（180-B）=-cosB，
EF²=BE²+FB²-2BE•FBcosB，
=（x-a）²+a²-2（x-a）a•cosB，①
DE²=AD²+AE²-2AD•AEcosA，
=x²+（x-a）²-2x（x-a）cosA，②
②-①得：
x²-a²-2（x-a）cosA（x+a），
∴x²-a²=2（x-a）cosA（x+a），
∴2cosA=1，
∴cosA=

1

2

，
∴∠BAD=60°，
故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了等邊三角形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，考查了菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，利用余弦定理得出是解題的關(guān)鍵．