Question

【題目】如圖1，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，其對稱軸為直線，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，的平分線交線段于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在、間的拋物線上，連結(jié)，，求四邊形面積與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)使成為以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）首先根據(jù)對稱性得出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩坐標(biāo)設(shè)拋物線解析式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得解；

（2）首先設(shè)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出△AOE是等腰直角三角形，然后將四邊形分成兩個(gè)三角形求解即可得出函數(shù)關(guān)系式；

（3）存在兩種情況：如圖所示，作輔助線構(gòu)建全等三角形，根據(jù)，列方程即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（1）如圖，設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

由對稱性得：

設(shè)拋物線的解析式為：

把代入得：

拋物線的解析式：

（2）如圖，設(shè)

平分，

是等腰直角三角形

，

，

，

．

（3）分兩種情況：

①當(dāng)P在軸下方時(shí)，過點(diǎn)P作MN⊥軸，交軸于M，交對稱軸于N，如圖所示：

∵△POF是等腰直角三角形，且OP=PF

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN

∵

則

解得（舍去）或

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

②當(dāng)P在軸上方時(shí)，如圖所示：

同理，得

解得或（舍去）

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.