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【題目】如圖,在直角坐標系中有一直角三角形AOBO為坐標原點,OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C

1)求拋物線的解析式;

2)若點P是第二象限內拋物線上的動點,其橫坐標為t

設拋物線對稱軸lx軸交于一點E,連接PE,交CDF,求出當△CEF△COD相似時,點P的坐標;

是否存在一點P,使△PCD的面積最大?若存在,求出△PCD的面積的最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】1

2①P點的坐標為:(﹣1,4)或(﹣2,3)。

t=﹣時,SPCD的最大值為。

【解析】試題分析:(1)由三角函數的定義可求得OB,再結合旋轉可得到A、B、C的坐標,利用待定系數法可求得拋物線解析式;

2①△COD為直角三角形,可知當△CEF△COD相似時有兩種情況,即∠FEC=90°∠EFC=90°,當PE⊥CE時,則可得拋物線的頂點滿足條件,當PE⊥CD時,過PPG⊥x軸于點G,可證△PGE∽△COD,利用相似三角形的性質可得到關于t的方程,可求得P點坐標;可求得直線CD的解析式,過PPN⊥x軸于點N,交CD于點M,可用t表示出PM的長,當PM取最大值時,則△PCD的面積最大,可求得其最大值.

試題解析:(1∵OA=1tan∠BAO=3

=3,解得OB=3

又由旋轉可得OB=OC=3,

∴A1,0),B0,3),C-3,0),

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把A、BC三點的坐標代入可得

,解得,

拋物線解析式為y=-x2-2x+3,

2由(1)可知拋物線對稱軸為x=-1,頂點坐標為(-1,4),

∵△COD為直角三角形,

△CEF△COD相似時有兩種情況,即∠FEC=90°∠EFC=90°,

∠FEC=90°,則PE⊥CE,

對稱軸與x軸垂直,

此時拋物線的頂點即為滿足條件的P點,此時P點坐標為(-14);

∠EFC=90°,則PE⊥CD,

如圖,過PPG⊥x軸于點G

∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG,

∴∠GPE=∠OCD,且∠PGE=∠COD=90°,

∴△PGE∽△COD,

∵E-1,0),Gt0),且P點橫坐標為t,

∴GE=-1-tPG=-t2-2t+3,

,解得t=-2t=3,

∵P點在第二象限,

∴t0,即t=-2,

此時P點坐標為(-2,3),

綜上可知滿足條件的P點坐標為(-1,4)或(-2,3);

設直線CD解析式為y=kx+m,

CD兩點坐標代入可得,解得,

直線CD解析式為y=x+1

如圖2,過PPN⊥x軸,交x軸于點N,交直線CD于點M

∵P點橫坐標為t,

∴PN=-t2-2t+3,MN=t+1

∵P點在第二象限,

∴P點在M點上方,

∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-t+1=-t2-t+2=-t+2+

t=-時,PM有最大值,最大值為,

∵SPCD=SPCM+SPDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM,

PM有最大值時,△PCD的面積有最大值,

SPCDmax=×=,

綜上可知存在點P使△PCD的面積最大,△PCD的面積有最大值為

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