Question

【題目】如圖1，點(diǎn)A、B、C分別是⊙O上不重合的三點(diǎn)，連接AC、BC.

（1）如圖2，點(diǎn)P是直線AB上方且在⊙O外的任意一點(diǎn)， 連接AP、BP.試比較∠APB與∠ACB的大小關(guān)系，并說明理由；

（2） 若點(diǎn)P是⊙O內(nèi)任意一點(diǎn)， 連接AP、BP，比較∠APB與∠ACB大小關(guān)系；

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是直線y＝－x上一動點(diǎn)，當(dāng)∠APB取得最大值時，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何確定的．

Answer 1

【答案】（1）∠APB＜∠ACB；（2）∠APB＞∠ACB；（3）.

【解析】

（1）設(shè)AP與⊙O交于點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)圓周角定理可知∠AEB=∠ACB，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEB＞∠APB，由此可得出結(jié)論；

（2）設(shè)BP的延長線與⊙O交于點(diǎn)D，連接AD，根據(jù)圓周角定理可知∠D=∠C，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠D＜∠APB，由此可得出結(jié)論；

（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角．要∠APB最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)A、點(diǎn)B且與直線y＝－x相切的圓，切點(diǎn)就是使得∠APB最大的點(diǎn)P，然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．

（1）∠APB＜∠ACB

如圖，不妨設(shè)PB交AB上方圓弧于點(diǎn)E，連接AE.

∵ ∠AEB是△PAE的外角

∴ ∠AEB＞∠APB

又∵ ∠AEB=∠ACB

∴ ∠APB＜∠ACB

（2）∠APB＞∠ACB，

在圖中，延長BP交圓于點(diǎn)D，連接AD．

∵∠D=∠C，

又∵∠D＜∠APB，

∴∠APB＞∠ACB．

（3）,

在線段AB的垂直平分線上找一點(diǎn)Q，當(dāng)以點(diǎn)Q為圓心、QA為半徑的圓與直線y=－x相切于第四象限時，則切點(diǎn)即為所要確定的點(diǎn)P的位置.

如圖，⊙Q切直線于點(diǎn)P，作AB的垂直平分線CQ.

設(shè)CQ的長為x，由條件可知：OA=1，OC=CE=3，

則QE=3－x，QD=，

∴

Rt△AQC中，,

∴,

解得：，顯然點(diǎn)P在第四象限比在第二象限時∠APB更大,

∴,

∴,

∴P.