Question

已知：拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（A左B右），其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（7，0），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若AC交y軸于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作DE∥AB交BC于E．點(diǎn)P為DE上一動點(diǎn)，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，四邊形CFPG的面積為y，求y與a的函數(shù)關(guān)系式和y的最大值；
（3）如圖2，在條件（2）下，過P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，連結(jié)FH、GH，是否存在點(diǎn)P，使得△PFH與△PHG相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），C（3，4）；（2），當(dāng)時(shí)，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）

試題分析：（1）由題意把點(diǎn)B的坐標(biāo)（7，0）代入拋物線即可得到拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（，）即可求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）由DE∥AB，再結(jié)合PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，可得四邊形CFPG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)的解析式即可求得y與a的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求得y的最大值；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比，求解即可，要注意分情況討論.
試題解析：（1）∵拋物線過點(diǎn)B（7，0）
∴，解得
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）；
（2）由題意得四邊形CFPG為矩形，
∴，
當(dāng)時(shí)，y最大值=
（3）（3，1）或（，1）或（，1）.