Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊三角形ADE．

（1）當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，如圖1，四邊形ADCE是　　　　形；

（2）過E作EF⊥AC于F，如圖2，求證：F為AC的中點(diǎn)；

（3）若AB=2，

①當(dāng)D為BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，如圖3，求EG的長；

②點(diǎn)D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，則點(diǎn)E所經(jīng)過路徑長為　　　　．(直接寫出結(jié)果)

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）證明見解析；（3）①EG；②2．

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形ADCE為平行四邊形，證明AD=AE，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；

（2）證明△BAD≌△FAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB，證明結(jié)論；

（3）①作EF⊥AC于F，連接EC，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出CG，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案； ②根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到E'E'垂直平分AC，證明△E'AE'≌△BAC，得到E'E'=BC=．

解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠DAC=30°．

∵△ADE為等邊三角形，

∴∠DAE=60°，

∴∠EAC=30°，

∴∠EAC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，

∴AE∥DC，AD=DC．

∵AE=AD，∴AE=CD，

∴四邊形ADCE為平行四邊形．

∵AD=AE，

∴平行四邊形ADCE為菱形．

故答案為：菱形；

（2）

在△BAD和△FAE中，

，

∴△BAD≌△FAE(AAS)，

∴AB=AF，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴AC=2AB，

∴AC=2AF，

∴F為AC的中點(diǎn)；

（3）①如圖3，作EF⊥AC于F，連接EC，

在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，

∴AC=2AB=4，

∴BC2，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BDBC，

∴AD，

∵AF=FC，EF⊥AC，

∴EC=AE=AD，

∵EC=EA=ED，EG⊥DC，

∴CGCD，

∴EG；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E在E'處，點(diǎn)E'是AC中點(diǎn)；

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E在E'處，其中△ACE'是等邊三角形，

由（1）得：AE=CE，∴點(diǎn)E始終落在線段AC的垂直平分線上，

∴E'E'垂直平分AC，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑是從AC的中點(diǎn)E'，沿著AC垂直平分線運(yùn)動(dòng)到E'處，

在△E'AE'和△BAC中，

，

∴△E'AE'≌△BAC(AAS)，

∴E'E'=BC=2．

故答案為：2．