Question

【題目】某公園在一個(gè)扇形OEF草坪上的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子OA，在A處安裝一個(gè)自動(dòng)噴水裝置．噴頭向外噴水．連噴頭在內(nèi)，柱高m，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線(xiàn)路徑落下，噴出的水流在與D點(diǎn)的水平距離4米處達(dá)到最高點(diǎn)B，點(diǎn)B距離地面2米．當(dāng)噴頭A旋轉(zhuǎn)120°時(shí)，這個(gè)草坪可以全被水覆蓋．如圖1所示．

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使A點(diǎn)的坐標(biāo)為（O，），水流的最高點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），求出此坐標(biāo)系中拋物線(xiàn)水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求噴水裝置能?chē)姽嗟牟萜旱拿娣e（結(jié)果用π表示）；

（3）在扇形OEF的一塊三角形區(qū)域地塊△OEF中，現(xiàn)要建造一個(gè)矩形GHMN花壇，如圖2的設(shè)計(jì)方案是使H、G分別在OF、OE上，MN在EF上．設(shè)MN＝2x，當(dāng)x取何值時(shí)，矩形GHMN花壇的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣4）2+2；（2）（平方米）；（3）當(dāng)x=時(shí)，S的值最大為：（平方米）．

【解析】

（1）利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)解析式即可；

（2）利用y＝0時(shí)求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出扇形的半徑，即可得出S的值；

（3）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出MH的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)最值公式求出即可．

（1）根據(jù)題意得出：圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），

故設(shè)解析式為：y＝a（x﹣4）2+2，

將（0，），代入上式得：

＝a（0﹣4）2+2，

解得：a＝﹣，

∴拋物線(xiàn)水流對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣4）2+2；

（2）當(dāng)y＝0時(shí)，

0＝﹣（x﹣4）2+2，

解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），

∴扇形半徑為10米，

∴S＝（平方米）；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OA⊥EF于點(diǎn)A，交GH于點(diǎn)B，

∵∠EOF＝120°，EO＝FO＝10，

∴∠OEF＝∠OFE＝30°，

∴AO＝FO＝5，

設(shè)MN＝2x，

∴AM＝BH＝x，

∴BO＝x，

∴MH＝5﹣x，

由題意得出：

S＝2x（5﹣x）＝﹣x2﹣10x，

當(dāng)x＝﹣＝ 時(shí)，

S的值最大為：S＝ （平方米）．