Question

【題目】閱讀下面材料，完成(1)-(3)題.

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題:

如圖，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，且AD=AC,M為AD中點(diǎn)，連結(jié)CM并延長(zhǎng)交AB于N.

探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，交流了自已的想法:

小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段AN、AB之間存在某種數(shù)量關(guān)系.”

小強(qiáng)：“通過(guò)倍長(zhǎng)不同的中線，可以得到不同的結(jié)論，但都是正確的，大家就大膽的探究吧.”

小偉：“通過(guò)構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問(wèn)題解決.”

......

老師: “若其他條件不變，設(shè)AB=a,則可以用含a的式子表示出線段CM的長(zhǎng).”

（1）探究線段AN、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）探究線段AN、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）設(shè)AB=a,求線段CM的長(zhǎng)（用含a的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）或，證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）過(guò)B做BQ∥NC交AD延長(zhǎng)線于Q，構(gòu)造出全等三角形△BDQ≌△CDM（ASA）、相似三角形△ANM∽△ABQ，再利用全等和相似的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）延長(zhǎng)AD至H，使AD=DH，連接CH，可得△ABD≌△HCD(SAS)，進(jìn)一步可證得，得到，然后證明，即可得到結(jié)論：；延長(zhǎng)CM至Q，使QM=CM，連接AQ，延長(zhǎng)至，使可得、四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步可證得，即可得到結(jié)論；

（3）在（1）、（2）的基礎(chǔ)之上，用含的式子表示出、，從而得出．

（1）過(guò)B做BQ∥NC交AD延長(zhǎng)線于Q，如圖：

∵D為BC中點(diǎn)

易得△BDQ≌△CDM（ASA）

∴DQ=DM，

∵M為AD中點(diǎn)，

∴AM=DM=DQ，

∵BQ∥NC，

∴△ANM∽△ABQ，

∴，

∴；

（2）①結(jié)論：，

證明：延長(zhǎng)AD至H，使AD=DH，連接CH，如圖：

易得△ABD≌△HCD(SAS) ，

∴∠H=∠BAH，

∴AB∥HC，

設(shè)AM=x，則AD=AC=2x，AH=4x，

∴，，

∴；

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②結(jié)論：；

證明：延長(zhǎng)至，使，連接，

延長(zhǎng)至，使，如圖：

則，則四邊形為平行四邊形，

∴，，，，，，

∴，

∴，

∴，

∴， ，

∴，

∴；

(3)由（1）得，，

∴，

由（2）①得，

∵

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.