Question

已知關于x的方程（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0
（1）就a的值討論方程根的情況；
（2）若原方程有實數根x=k，求代數式a（k+1）²-（k²+4k-5）值．

Answer 1

解：（1）當a=1時，（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0變?yōu)?（a-2）x+a+1=0，
此時方程有一個實數根；
當a≠1時，△=4（a-2）²-4（a+1）（a-1）=-16a+20
∴當-16a+20＞0即a＜時原方程有兩個不相等的實數根；
當-16a+20=0即a=時原方程有兩個相等的實數根；
當-16a+20＜0即a＞時原方程沒有實數根；

（2）將x=k代入（a-1）x²+2（a-2）x+a+1=0得：
（a-1）k²+2（a-2）k+a+1=0
展開得：ak²-k²+2ak-4k+a+1=0
a（k²+2k+1）-（k²+4k-1）=0
整理得：a（k+1）²-（k²+4k-1）=0
∴a（k+1）²-（k²+4k-5）=a（k+1）²-（k²+4k-1）+4=0+4=4．
分析：（1）分a=1和a≠1兩種情況就可以得到方程根的情況；
（2）將x=k代入原方程整理后a（k+1）²-（k²+4k-1）=0后代入a（k+1）²-（k²+4k-5）即可求解．
點評：本題考查了根的判別式的知識，解題的關鍵是利用分類討論的數學思想對原題可能會出現的不同情況討論．