Question

【題目】如圖，BC是等腰三角形ABC與等腰三角形DBC的公共底邊，AB=AC,BD=CD.

（1）求證：AD⊥BC.

（2）M是AB上的一點，在BC上是否存在一點P，使得PM+PD最小？若存在，請通過作圖確定點P的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】【試題分析】（1）考查線段中垂線的判定定理，AB=AC,得出點A在BC的中垂線上，同理，點D也在BC的中垂線上，由于兩點確定一條直線，則AD⊥BC.

（2）屬于小馬飲水的問題，以BC為對稱軸，作點D或M的對稱點，D′或M′，連接D′M或M′D，交BC于點P，點P即是所求點. 圖形見解析。

【試題解析】

證明：(1)

∵AB=AC,DB=DC,AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

延長AD交BC于E,則

△ABE≌△ACE(SAS)，

∴∠AEB=∠AEC，

∵∠AEB+∠AEC=180°，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

∴AD⊥BC.

(2)存在.

以BC為對稱軸，作點D或M的對稱點，D′或M′，連接D′M或M′D，交BC于點P，點P即是所求點.如圖：