Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和.

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）把該拋物線向 （填“上”或“下”）平移 個單位長度，得到的拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)；

（3）平移該拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，同時滿足以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）下，；（3）將原拋物線向左平移3個單位，再向下平移3個單位或?qū)⒃瓛佄锞�先向左平移2個單位，再向下平移5個單位，理由見解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)和代入拋物線解析式可求出a，b，進(jìn)而得到拋物線解析式，將解析式化成頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)平移規(guī)律進(jìn)行解答；

（3）根據(jù)是等腰直角三角形可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，分情況討論，分別求出拋物線解析式，進(jìn)而判斷平移方式即可.

解：（1）由題意，得，

解得，

∴該拋物線的解析式為，

∵，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）∵當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為時，拋物線與軸只有一個公共點(diǎn)，

∴需要把該拋物線向下平移個單位長度；

（3）是等腰直角三角形，，點(diǎn)在軸上，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或，

設(shè)平移后的拋物線的解析式為，

①當(dāng)拋物線過點(diǎn)，時，有，

解得，

平移后的拋物線的解析式，

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

將原拋物線向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可得到符合條件的拋物線；

②當(dāng)拋物線過，時，有，

解得，

平移后的拋物線的解析式為，

該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可得到符合條件的拋物線.