Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分線EF交AC于點D，交AB于點F，且CE=BF.

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）當∠BAC的度數(shù)為多少時，四邊形AECF是正方形.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；（2）∠BAC=45.

【解析】

(1) 根據(jù)中垂線的性質(zhì):中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等, 有BE=EC, BF=FC, 根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷;

(2)由菱形的性質(zhì)知,對角線平分一組對角,即當∠BAC=45時,∠EAF=90,則菱形AECF為正方形.

證明: (1)

AC的垂直平分線EF交AC于點D

CD=AD,∠ADF=90，EC=AE,CF=AF,

又∠ACB=90°，EF∥BC,

△ADF∽△ACB,

AF:AB=AD:AC, CD=AD,D為AC的中點，

AF:AB=AD:AC=1：2，

F為AB中點,

BF=AF,在Rt△ABC中，∠ACB=90°, CF=AF,

又CE=BF, CF=AF, EC=AE,CF=AF

CE= CF= AF= AE

四邊形BECF是菱形.

（2）當∠BAC=45時, 四邊形AECF是正方形.

證明:∠BAC=45,四邊形AECF是菱形,

∠EAC=∠BAC=45,

∠EAF =∠EAC+∠BAC =90,

菱形AECF是正方形.