Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0， ）
（1）若此拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，﹣ ），且與x軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
①填空：b=（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若a= ，當(dāng)0＜x＜1，拋物線上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為3時(shí)，求b的值．

Answer 1

【答案】
（1）[ "﹣2a﹣1
②當(dāng)EF2的值最小時(shí)，求拋物線的解析式；
解：由①可得拋物線解析式為y=ax2﹣（2a+1）x+ ，
令y=0可得ax2﹣（2a+1）x+ =0，
∵△=（2a+1）2﹣4a× =4a2﹣2a+1=4（a﹣ ）2+ ＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為x1、x2 ，
∴x1+x2= ，x1x2= ，
∴EF2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2= =（ ﹣1）2+3，
∴當(dāng)a=1時(shí)，EF2有最小值，即EF有最小值，
∴拋物線解析式為y=x2﹣3x+ （2）

解：當(dāng)a= 時(shí)，拋物線解析式為y= x2+bx+ ，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=﹣b，

∴只有當(dāng)x=0、x=1或x=﹣b時(shí)，拋物線上的點(diǎn)才有可能離x軸最遠(yuǎn)，

當(dāng)x=0時(shí)，y= ，當(dāng)x=1時(shí)，y= +b+ =2+b，當(dāng)x=﹣b時(shí)，y= （﹣b）2+b（﹣b）+ =﹣ b2+ ，

①當(dāng)|2+b|=3時(shí)，b=1或b=﹣5，且頂點(diǎn)不在0＜x＜1范圍內(nèi)，滿足條件；

②當(dāng)|﹣ b2+ |=3時(shí)，b=±3，對(duì)稱軸為直線x=±3，不在0＜x＜1范圍內(nèi)，故不符合題意，

綜上可知b的值為1或﹣5

【解析】解：（1.）①∵拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0， ），
∴c= ，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，﹣ ），
∴﹣ =4a+2b+ ，
∴b=﹣2a﹣1，
所以答案是：﹣2a﹣1；