Question

【題目】問(wèn)題提出

（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則OA的長(zhǎng)為 ；

問(wèn)題探究

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果點(diǎn)P是AD邊上一點(diǎn)，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示．管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來(lái)給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時(shí)，既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水，又能節(jié)約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB（即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌．）同時(shí)，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．

如圖③，已測(cè)出AB=24m，MB=10m，△AMB的面積為96m2；過(guò)弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交于點(diǎn)E，又測(cè)得DE=8m．

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)他的想法？為什么？（結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.01米）

Answer 1

【答案】（1）；（2）PQ=；（3）噴灌龍頭的射程至少為19.71米．

【解析】

試題分析：（1）構(gòu)建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°=，可得OA的長(zhǎng)；

（2）經(jīng)過(guò)矩形對(duì)角線交點(diǎn)的直線將矩形面積平分，根據(jù)此結(jié)論作出PQ，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）如圖3，作輔助線，先確定圓心和半徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算半徑：

在Rt△AOD中，由勾股定理解得：r=13根據(jù)三角形面積計(jì)算高M(jìn)N的長(zhǎng)，證明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的長(zhǎng)，確定點(diǎn)O在△AMB內(nèi)部，利用勾股定理計(jì)算OM，則最大距離FM的長(zhǎng)可利用相加得出結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)O作OD⊥AC于D，則AD=AC=×12=6，∵O是內(nèi)心，△ABC是等邊三角形，∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，∴OA=6÷=，故答案為：；

（2）存在，如圖2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO并延長(zhǎng)交BC于Q，則線段PQ將矩形ABCD的面積平分，∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，∴CQ=AP=3，過(guò)P作PM⊥BC于點(diǎn)，則PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，由勾股定理得：PQ= ==；

（3）如圖3，作射線ED交AM于點(diǎn)C．∵AD=DB，ED⊥AB，是劣弧，∴所在圓的圓心在射線DC上，假設(shè)圓心為O，半徑為r，連接OA，則OA=r，OD=r﹣8，AD=AB=12，在Rt△AOD中，r2=122+（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，∵S△ABM=96，AB=24，∴ABMN=96，×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴，∴，∴DC=，∴OD＜CD，∴點(diǎn)O在△AMB內(nèi)部，∴連接MO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則MF為草坪上的點(diǎn)到M點(diǎn)的最大距離，∵在上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)F的點(diǎn)G，連接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，過(guò)O作OH⊥MN，垂足為H，則OH=DN=6，MH=3，∴OM===，∴MF=OM+r=+13≈19.71（米）．

答：噴灌龍頭的射程至少為19.71米．