Question

如圖，矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點，BN=1厘米，動點M從B點出發(fā)，沿BA運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q．當點M到達終點A時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）若t=1秒，則PM=________厘米；
（2）設(shè)四邊形PNCQ的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）M運動到什么位置時，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積的比為9：24？

Answer 1

解：（1）由矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點，BN=1厘米，
過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q，
所以四邊形AMQD是正方形，由△AMF∽△ABN，得==．

（2）由題意得BM=CQ=t
∵△APM∽△ABN，
∴=，
∴=，
∴PM=，
∴PQ=AD-PM=3-=
∴S=（PQ+CN）×CQ==+2t．

（3），
∴+2t=×3×4，
∴t²+16t-36=0，t₁=2，t₂=-18（舍去）
∴BM=2×1=2厘米，
∴當M運動到AB中點時，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積比為9：24．
分析：（1）由矩形ABCD，過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q，推出以四邊形AMQD是正方形，利用△AMF∽△ABN，得PM的值．
（2）由題意得BM=CQ=t，△APM∽△ABN，利用對應(yīng)邊成比例求得PM，PQ，然后即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由，解關(guān)于t的方程t²+16t-36=0即可．
點評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到動點，難度較大．