Question

填空：
（1）方程x²+2x+1=0的根為x₁=

-1

，x₂=

-1

，則x₁+x₂=

-2

，x₁•x₂=

1

；
（2）方程x²-3x-1=0的根為x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，則x₁+x₂=

3

，x₁•x₂=

-1

；
（3）方程3x²+4x-7=0的根為x₁=

-

7

3

，x₂=

1

，則x₁+x₂=

-

4

3

，x₁•x₂=

-

7

3

．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并證明你的猜想．請(qǐng)用你的猜想解答下題：已知22+

3

是方程x²-44x+C=0的一個(gè)根，求方程的另一個(gè)根及C的值．

Answer 1

分析：（1）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；
（2）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；
（3）利用求根公式直接求出方程兩根即可得出兩根之和與兩根之積；由（1）（2）（3）中兩根之和與兩根之積的結(jié)果可以看出，兩根之和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積正好等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)之比，進(jìn)而求出另一個(gè)根及C的值即可．

解答：解：（1）方程x²+2x+1=0，
∵b ²-4ac=0，
∴x₁=x₂=-

2

2

=-1，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
故答案為：-1，-1，-2，1；

（2）方程x²-3x-1=0，
∵b ²-4ac=9+4=13＞0，
∴x=

3± 13

2

，
x₁=

3+ 13

2

，x₂=

3- 13

2

，則x₁+x₂=3，x₁•x₂=-1；
故答案為：

3+ 13

2

，

3- 13

2

，3，-1；


（3）方程3x²+4x-7=0
∵b ²-4ac=16+84=100＞0，
∴x=

-4± 100

6

，
∴x₁=-

7

3

，x₂=1，則x₁+x₂=-

4

3

，x₁•x₂=-

7

3

．
由（1）（2）（3）能得到：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵當(dāng)b ²-4ac＞0，
∴x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴x ₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
∵22+

3

是方程x²-44x+C=0的一個(gè)根，
∴x₁+x₂=22+

3

+x₂=-

-44

1

=44，
∴x₂=22-

3

，
∴x₁x₂=（22+

3

）（22-

3

）=C，
∴C=-481．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．