Question

1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格•康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合，它的做法如下：
取一條長(zhǎng)度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，余下兩條線段，達(dá)到第1階段；將剩下的兩條線段再分別三等分，各去掉中間一段，余下四條線段，達(dá)到第2階段；再將剩四條線段，分別三等分，分別去掉中間一段，余下八條線段，達(dá)到第3階段；…；這樣的操作一直繼續(xù)下去，在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，把這種分形，稱(chēng)作康托爾點(diǎn)集，如圖是康托爾點(diǎn)集的最初幾個(gè)階段，當(dāng)達(dá)到第5個(gè)階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為

 

；當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），余下的線段的長(zhǎng)度之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類(lèi)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)題意具體表示出前幾個(gè)式子，然后推而廣之發(fā)現(xiàn)規(guī)律．

解答：解：根據(jù)題意知：第一階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為

2

3

，
第二階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為

2

3

×

2

3

=（

2

3

）²，
第三階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為

2

3

×

2

3

×

2

3

=（

2

3

）³，
…
以此類(lèi)推，
第五個(gè)階段時(shí)，余下的線段的長(zhǎng)度之和為（

2

3

）⁵，
當(dāng)達(dá)到第n個(gè)階段時(shí)（n為正整數(shù)），余下的線段的長(zhǎng)度之和為（

2

3

）ⁿ．
故答案為：（

2

3

）⁵；（

2

3

）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出規(guī)律，解決問(wèn)題．