Question

（2013•椒江區(qū)一模）已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（m，n）是拋物線y=

1

4

x2+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）如圖1，過動(dòng)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，請通過測量或計(jì)算，比較PA與PB的大小關(guān)系：PA

=

PB（直接填寫“＞”“＜”或“=”，不需解題過程）；
（2）請利用（1）的結(jié)論解決下列問題：
①如圖2，設(shè)C的坐標(biāo)為（2，5），連接PC，AP+PC是否存在最小值？如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，簡單說明理由；
②如圖3，過動(dòng)點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線交拋物線于另一點(diǎn)D，若AP=2AD，求直線OP的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征推知PA=PB；
（2）過點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，所以要使AP+CP最小，只需當(dāng)BP+CP最小，因此當(dāng)C，P，B共線時(shí)，AP+PC取得最小值；
（3）分類討論：當(dāng)點(diǎn)P位于第一象限和第二象限．先以點(diǎn)P位于第一象限進(jìn)行分析：如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，構(gòu)建相似三角形△ODE∽△OPF，則該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

．故設(shè)設(shè)P（m，

1

4

m2+1），則D（

1

2

m，

1

8

m2+

1

2

）．由（1）中的結(jié)論得到等式

1

8

m2+

1

2

=

1

4

(

1

2

m)2+1，據(jù)此可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

2

，3），則易求直線OP的解析式為y=

3 2

4

x．

解答：解：（1）如圖，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（m，n），
∴AP²=m²+（n-2）²，①
∵點(diǎn)P（m，n）是拋物線y=

1

4

x2+1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴n=

1

4

m²+1，
∴m²=4n-4，②
由①②知，AP=n．
又∵PB⊥x軸，
∴PB=n，
∴PA=PB．
故填：=；

（2）①過點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，
所以要使AP+CP最小，只需當(dāng)BP+CP最小，因此當(dāng)C，P，B共線時(shí)取得，
此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)C（2，5）的橫坐標(biāo)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；

②當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，
由（1）得：DA=DE，PA=PF
∵PA=2DA，∴PF=2DE，
∵△ODE∽△OPF，∴

OE

OF

=

DE

PF

=

1

2

設(shè)P（m，

1

4

m2+1），則D（

1

2

m，

1

8

m2+

1

2

）
∴

1

8

m2+

1

2

=

1

4

(

1

2

m)2+1，解得m=±2

2

∵點(diǎn)D在拋物線y=

1

4

x2+1上，（負(fù)舍去）
此時(shí)P（2

2

，3），直線OP的解析式為y=

3 2

4

x；
當(dāng)P在第二象限時(shí)，
同理可求得直線OP的解析式為y=-

3 2

4

x．
綜上，所求直線OP的解析式為y=

3 2

4

x或y=-

3 2

4

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及軸對(duì)稱--路線最短問題等知識(shí)點(diǎn)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．