Question

（2012•遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當(dāng)∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）當(dāng)運動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

Answer 1

分析：（1））由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=

1

2

QC，即6-x=

1

2

（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，
再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=

1

2

AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

解答：解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=

1

2

QC，即6-x=

1

2

（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（2）當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵點P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，

∠AEP=∠BFQ ∠A=∠FBQ AP=BQ

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=

1

2

AB，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴DE=3，
∴當(dāng)點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

點評：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．