Question

已知，將邊長為5的正方形ABCO放置在如圖所示的直角坐標系中，使點A在x軸上，點C在y軸上．點M（t，0）在x軸上運動，過A作直線MC的垂線交y軸于點N．
（1）當t=1時，求直線MC的解析式；
（2）設(shè)△AMN的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式并寫出相應(yīng)t的取值范圍；
（3）在該平面直角坐標系中取點P（2，y），是否存在以M、N、C、P為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意易得點C的坐標為：（0，5），點M的坐標為：（1，0），然后設(shè)直線MC的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線MC的解析式；
（2）由題意易證得△AON≌△CMO，即可得ON=OM，然后分別從t＞0，-5＜t＜0，t＜-5時分析求解，即可求得答案；
（3）分別從CN∥PM與MN∥CP時分析求解，根據(jù)直角梯形的性質(zhì)，即可求得答案．
解答：解：（1）∵正方形ABCO的邊長為5，
∴點C的坐標為：（0，5），
∵t=1，
∴點M的坐標為：（1，0），
設(shè)直線MC的解析式為：y=kx+b，
∴，
解得：．
∴直線MC的解析式為：y=-5x+5；

（2）∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AON=∠COM=90°，
∵AN⊥MC，
∴∠NAO+∠CMO=90°，
∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠ANO=∠CMO，
在△AON和△COM中，
∵，
∴△AON≌△CMO（AAS），
∴ON=OM=|t|，
∴①當t＞0時，AM=OA+OM=5+t，ON=t，
∴S=t（t+5）=t²+t（t＞0），
②當-5＜t＜0時，AM=5+t，ON=-t，
∴S=-t²-t（-5＜t＜0），
③當t＜-5時，AM=5-t，ON=-t，
∴S=t²+t （t＜-5）；

（3）如圖①，當CN∥PM時，
∵∠CNM≠90°，
∴∠PCN=90°，
∴P₁（2，5）；
如圖②，當MN∥CP時，
∵ON=OM，
∴直線MN的比例系數(shù)為-1，
∴設(shè)直線PC的解析式為：y=-x+b，
∵點C（0，5），
∴直線PC的解析式為：y=-x+5，
當x=2時，y=3，
∴P₂（2，3）．
故P₁（2，5），P₂（2，3）．
點評：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及直角梯形的性質(zhì)．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．