Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣ ），C（2，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，求PB+PD的最小值；

（3）M（x，t）為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有　 　個(gè)；

②連接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】拋物線(xiàn)解析式為y=x2﹣x﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣）．

（2）PB+PD的最小值為

（3）①5

②取值范圍是

【解析】二次函數(shù)的表達(dá)式有三種方法，這題很明顯可以用頂點(diǎn)式以及交點(diǎn)式更方便些；這一題根據(jù)邊的關(guān)系得出∠ABO=30°非常重要，根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的邊是斜邊的一半把所要求的邊轉(zhuǎn)化，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短求得最小值；第三問(wèn)ABMN組成菱形，只有AB是定點(diǎn)，所以要討論AB是鄰邊還是對(duì)角線(xiàn)；最后一問(wèn)與圓的知識(shí)相結(jié)合，有一定的難度，主要根據(jù)∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為圓心F，以FA為半徑，則弧AB所對(duì)的圓周角為60°，與對(duì)稱(chēng)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為t的取值范圍。

解：（1）方法一：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，B（0，-）代入解得

∴

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為

方法二：也可以用三點(diǎn)式設(shè)代入三點(diǎn)或者頂點(diǎn)式設(shè)代入兩點(diǎn)求得。

如圖，過(guò)P點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，由題意已知∠ABO=30°。

∴

∴

要使最小，只需要D、P、E共線(xiàn)，所以過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)。

由題意易知，∠ADE=∠ABO=30°，

①若A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，分兩種情況，由題意知，AB=2，

若AB為邊菱形的邊，因?yàn)镸為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，即分別以A、B為頂點(diǎn)，AB的長(zhǎng)為半徑作圓與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，這樣的M點(diǎn)有四個(gè)，如圖

若AB為菱形的對(duì)角線(xiàn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作AB的垂直平分線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)。

綜上所述，這樣的M點(diǎn)有5個(gè)，所以對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)有5個(gè)。

②如圖，作AB的垂直平分線(xiàn)，與y軸交于F點(diǎn)。

由題意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°

∴以F為圓心，AF的長(zhǎng)為半徑作圓交對(duì)稱(chēng)軸于M和M'點(diǎn)，則∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°

∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1

∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，過(guò)F點(diǎn)作FG⊥MM'于G點(diǎn)，已知FG=

∴，又∵G

∴M（，M'

∴

方法二：設(shè)M，M到點(diǎn)F的距離d=AF=也可求得．

“點(diǎn)睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、銳角三角函數(shù)、最短問(wèn)題、圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法確定解析式，學(xué)會(huì)利用垂線(xiàn)最短解決實(shí)際問(wèn)題中 的最短問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造圓解決角度問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.