Question

【題目】閱讀理解應用

待定系數(shù)法：設某一多項式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)、利用當兩個多項式為恒等式時，同類項系數(shù)相等的原理確定這些系數(shù)，從而得到待求的值．

待定系數(shù)法可以應用到因式分解中，例如問題：因式分解．

因為為三次多項式，若能因式分解，則可以分解成一個一次多項式和一個二次多項式的乘積．

故我們可以猜想可以分解成，展開等式右邊得：

，根據(jù)待定系數(shù)法原理，等式兩邊多項式的同類項的對應系數(shù)相等：，，可以求出，．

所以．

（1）若取任意值，等式恒成立，則________；

（2）已知多項式有因式，請用待定系數(shù)法求出該多項式的另一因式；

（3）請判斷多項式是否能分解成的兩個均為整系數(shù)二次多項式的乘積，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）多項式能分解成兩個均為整系數(shù)二次多項式的乘積，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題目中的待定系數(shù)法原理即可求得結果；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法原理先設另一個多項式，然后根據(jù)恒等原理即可求得結論；
（3）根據(jù)待定系數(shù)原理和多項式乘以多項式即可求得結論．

（1）根據(jù)待定系數(shù)法原理，得3-a=2，a=1．
故答案為1．
（2）設另一個因式為（x2+ax+b），
（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b
=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b
∴a+1=0 a=-1 b=3
∴多項式的另一因式為x2-x+3．
答：多項式的另一因式x2-x+3．
（3）多項式x4+x2+1能分解成兩個整系數(shù)二次多項式的乘積．理由如下：
設多項式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x+1）（x3+ax2+bx+c）或③（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
=x4+ax3+bx2+ax+b
=x4+ax3+（b+1）x2+ax+b
∴a=0， b+1=1， b=1
由b+1=1得b=0≠1，故此種情況不存在.
②（x+1）（x3+ax2+bx+c），
=x4+ax3+bx2+cx+x3+ax2+bx+c
=x4+（a+1）x3+（b+a）x2+（b+c）x+c
∴a+1=0 b+a=1 b+c=0 c=1
解得a=-1，b=2，c=1，
又 b+c=0，b=-1≠2，故此種情況不存在．
③（x2+x+1）（x2+ax+1）
=x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1
∴a+1=0，a+2=1，
解得a=-1．
即x4+x2+1=（x2+x+1）（x2-x+1）
∴x4+x2+1能分解成兩個整系數(shù)二次三項式的乘積卻不能分解成兩個整系數(shù)二次二項式與二次三項式的乘積．
答：多項式x4+x2+1能分解成兩個整系數(shù)二次三項式的乘積．