Question

【題目】解答
（1）閱讀理解：

如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷．
中線AD的取值范圍是；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C為頂點作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）2＜AD＜8
（2）

證明：延長FD至點M，使DM=DF，連接BM、EM，如圖②所示：

同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM=CF，

∵DE⊥DF，DM=DF，

∴EM=EF，

在△BME中，由三角形的三邊關系得：BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF

（3）

解：BE+DF=EF；理由如下：

延長AB至點N，使BN=DF，連接CN，如圖3所示：

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，

∴∠NBC=∠D，

在△NBC和△FDC中， ，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，

∴∠BCE+∠FCD=70°，

∴∠ECN=70°=∠ECF，

在△NCE和△FCE中， ，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN=EF，

∵BE+BN=EN，

∴BE+DF=EF．

【解析】（1）解：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，如圖①所示：
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中， ，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，由三角形的三邊關系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
所以答案是：2＜AD＜8；

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形三邊關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形兩邊之差小于第三邊；不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊．