【題目】如圖,已知AB是圓O的直徑,弦CDAB,垂足為H,與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,切點(diǎn)為F,連接AF交CD于點(diǎn)N.

(1)求證:CA=CN;

(2)連接DF,若cosDFA=,AN=,求圓O的直徑的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

試題分析:(1)連接OF,根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360°,即可得出M+FOH=180°,由三角形外角結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出M=C=2OAF,再通過互余利用角的計(jì)算即可得出CAN=90°﹣OAF=ANC,由此即可證出CA=CN;

(2)連接OC,由圓周角定理結(jié)合cosDFA=,AN=,即可求出CH、AH的長(zhǎng)度,設(shè)圓的半徑為r,則OH=r﹣6,根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圓O直徑的長(zhǎng)度.

試題解析:(1)證明:連接OF,則OAF=OFA,如圖所示.

ME與O相切,OFME.CDAB,∴∠M+FOH=180°.

∵∠BOF=OAF+OFA=2OAF,FOH+BOF=180°,∴∠M=2OAF.

MEAC,∴∠M=C=2OAF.

CDAB,∴∠ANC+OAF=BAC+C=90°,∴∠ANC=90°﹣OAF,BAC=90°﹣C=90°﹣2OAF,∴∠CAN=OAF+BAC=90°﹣OAF=ANC,CA=CN.

(2)連接OC,如圖2所示.

cosDFA=,DFA=ACH,=.設(shè)CH=4a,則AC=5a,AH=3a,CA=CN,NH=a,AN= = = a=,a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.

設(shè)圓的半徑為r,則OH=r﹣6,在RtOCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,解得:r=,圓O的直徑的長(zhǎng)度為2r=

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(1)對(duì)抽取的30株水稻稻穗谷粒數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,請(qǐng)補(bǔ)全下表中空格,并完善直方圖:

如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖中,扇形A對(duì)應(yīng)的圓心角為 度,扇形B對(duì)應(yīng)的圓心角為 度;

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(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)直線l沿x軸向右平移,得直線l′,l′與線段OA相交于點(diǎn)B,與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CEx軸于點(diǎn)E,把BCE沿直線l′折疊,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上點(diǎn)E′時(shí)(圖2),求直線l′的解析式;

(3)在(2)的條件下,l′與y軸交于點(diǎn)N,把BON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到B′ON′,P為l′上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PB′N′為等腰三角形時(shí),求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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同學(xué)們作了一步又一步的研究:

(1)、經(jīng)過思考,小明展示了一種解題思路:如圖1,取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由;
(2)、小穎提出一個(gè)新的想法:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由;
(3)、小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由.

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