Question

【題目】如圖，直線y＝x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，∠ABO的平分線BD與y軸相交于點(diǎn)D，A、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．

（1）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上的點(diǎn)F，再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處．當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)P所走最短路徑的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)E沿直線y＝3水平向右運(yùn)動(dòng)得點(diǎn)E'，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M使得以D、B、M、E'為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），2；（2）（，3）或（，3）

【解析】

（1）首先根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直角三角形和角平分線以及對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線BC解析式，再根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)確定最短路徑，求出直線E′D解析式，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分類討論：BD為邊和BD為對(duì)角線，求解即可.

（1）∵直線y=x+6與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)A（0，6），點(diǎn)B（2，0），

∵點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E（，3）

∵tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

∵BD平分∠ABO，

∴∠ABD=∠DBO=30°，且OB=2，

∴DO=2，BD=2DO=4

∴點(diǎn)D（0，2）

∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣6）

∵設(shè)直線BC解析式為：y=kx+b，

∴

∴解得：k=，b=﹣6

∴直線BC解析式為：y=x﹣6

如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D'（4，﹣2），連接ED'交BC于點(diǎn)F，

∴點(diǎn)P所走最短路徑為D'E的長(zhǎng)，

∴D'E==2

設(shè)直線ED'解析式為：y=mx+n，

∴

解得：m=﹣，n=

∴直線ED'解析式為：y=﹣x+，

∴

∴

∴點(diǎn)F坐標(biāo)（，）

（2）若BD為邊，設(shè)點(diǎn)E'（x，3）

∵四邊形BDE'M是菱形，

∴BD=DE'=4

∴4=

∴x=，

∴點(diǎn)E'（，3）

若BD為對(duì)角線，

∵四邊形BE'DM是菱形

∴DE'=BE'，

∴（x﹣0）2+（3﹣2）2=（x﹣2）2+32，

∴x=

∴點(diǎn)E'坐標(biāo)（，3）

綜上，點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（，3）或（，3）.