Question

11．如圖，在長方形ABCO中，點B（8，6），
（1）點M在邊AB上，若△OCM是等腰三角形，試求M的坐標(biāo)；
（2）點P是線段BC上一動點，0≤PC≤6．已知點D在第一象限，是直線y=2x-6上的一點，若△ADP是等腰三角形，且∠ADP=90°，請求出點D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分三種情況：①當(dāng)OM=MC時，如圖1，根據(jù)全等證明AM=BM可得結(jié)論；②當(dāng)OM=OC時，如圖2，根據(jù)勾股定理求AM的長，可得結(jié)論；③當(dāng)OC=CM時，同理得M的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)D在長方形ABCO內(nèi)部時，如圖4，P與B重合，過D作DE⊥AB于E，根據(jù)AE=BE=DE求點D的坐標(biāo)；
②當(dāng)D在長方形ABCO外部時，如圖5，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)AE=DF列等式可求點D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）分三種情況：
①當(dāng)OM=MC時，如圖1，
∵四邊形ABCO是長方形，
∴∠OAM=∠B=90°，AO=BC，
∴Rt△AOM≌Rt△BCM，
∴AM=BM，
∵B（8，6），
∴M（4，6）；
②當(dāng)OM=OC時，如圖2，
∵OC=8，
∴OM=8，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴M（2$\sqrt{7}$，6），
③當(dāng)OC=CM時，同理得：BM=2$\sqrt{7}$，
∴AM=8-2$\sqrt{7}$，
∴M（8-2$\sqrt{7}$，6），
綜上所述，點M的坐標(biāo)為：（4，6）或（2$\sqrt{7}$，6）或（8-2$\sqrt{7}$，6）；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)D在長方形ABCO內(nèi)部時，如圖4，P與B重合，
∵∠ADP=90°，△ADP是等腰三角形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
過D作DE⊥AB于E，
∴AE=ED=BE=4，
∴D（4，2），
②當(dāng)D在長方形ABCO外部時，如圖5，∠ADP=90°，AD=PD，
過D作EF∥AB，交y軸于E，交CB延長線于F，
∴∠AED=∠DFP=90°，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∵∠ADP=90°，
∴∠EDA+∠PDF=90°，
∴∠EAD=∠PDF，
∵AD=PD，
∴△ADE≌△DFP，
∴AE=DF，
設(shè)D（m，2m-6），
∴2m-6-6=8-m，
m=$\frac{20}{3}$，
∴2m-6=$\frac{22}{3}$，
∴D（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），
綜上所述，點D的坐標(biāo)為（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了長方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等知識，注意采用分類討論的思想，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．