Question

（2013•濠江區(qū)模擬）如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c經過原點O，與x軸交于另一點N，直線y=kx+b₁與兩坐標軸分別交于A、D兩點，與拋物線交于B（1，3）、C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）若拋物線在x軸上方的部分有一動點P（x，y），求△PON的面積最大值；
（3）若動點P保持（2）中的運動路線，問是否存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點B、C的坐標代入直線表達式解方程組即可得解，把點B、C、O的坐標代入拋物線的解析式，解三元一次方程組求出a、b、c的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出點N的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式可知，點P為拋物線的頂點時△PON底邊ON上的高最大，面積最大，求出點P的縱坐標，代入面積公式即可得解；
（3）先求出點A、D的坐標，再設點P的坐標為（x，-2x²+5x），根據(jù)三角形的面積公式列式得到關于x的一元二次方程，然后求出方程的解，再根據(jù)點P在x軸的上方進行判斷．

解答：解：（1）根據(jù)題意得，

k+b1=3 2k+b1=2

，
解得

k=-1 b1=4

，
∴直線的解析式是y=-x+4，
根據(jù)圖象，拋物線經過點B（1，3）、C（2，2）、（0，0），
∴

a+b+c=3 4a+2b+c=2 c=0

，
解得

a=-2 b=5 c=0

，
∴拋物線的解析式是y=-2x²+5x；

（2）當y=0時，-2x²+5x=0，
解得x₁=0，x₂=

5

2

，
∴點N的坐標是（

5

2

，0），
∴點P的縱坐標越大，則△PON的面積越大，
當點P是拋物線的頂點時，△PON的面積最大，
此時

4ac-b2

4a

=

-52

4×(-2)

=

-25

-8

=

25

8

，
S_△PON最大=

1

2

×

5

2

×

25

8

=

125

32

；

（3）當x=0時，y=4，
當y=0時，-x+4=0，解得x=4，
∴點A、D的坐標是A（0，4），D（4，0），
設點P的坐標是（x，-2x²+5x），則

1

2

×4x=

1

9

×

1

2

×4×（-2x²+5x），
整理得，2x²+4x=0，
解得x₁=0，x₂=-2，
此時點P不在x軸的上方，不符合題意，
∴不存在點P，使得△POA的面積等于△POD面積的

1

9

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求直線與函數(shù)的解析式，拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．