Question

【題目】如圖，△ OAB 是腰長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形， OAB 90°，延長(zhǎng)OA 至 B1 ，使 AB1 OA ，以OB1 為底，在△ OAB 外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1 ，再延長(zhǎng)OA1 至 B2 ， 使 A1B2 OA1 ，以OB2 為底，在△ OA1B1 外側(cè)作等腰直角三角形OA2 B2 ，……，按此規(guī)律作等腰直角三角形OAn Bn （ n 1 ， n 為正整數(shù)），回答下列問(wèn)題：

（1） A3B3 的長(zhǎng)是_____________；（2）△ OA2020 B2020 的面積是_____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=OA=1,A1B1=AB，A2B2=A1B1=2AB，A3B3=A2B2=AB，故可求解；

（2）先依次求出△OAB，△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3的面積，找到變化規(guī)律即可求解△ OA2020 B2020 的面積.

（1）∵△ OAB 是腰長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形， OAB 90°，延長(zhǎng)OA 至 B1 ，使 AB1 OA ，以OB1 為底，在△ OAB 外側(cè)作等腰直角三角形OA1B1 ，

∴OB1=2OA=2，設(shè)A1O=x，則A1O= A1B1=x

根據(jù)A1O2+A1B12= OB12，x2+x2= 22，

得x=,

故A1B1=

同理可得A2B2=A1B1=2AB，A3B3=A2B2=AB=，

∴A3B3=；

（2）∵△ OAB 是腰長(zhǎng)為 1 的等腰直角三角形

∴△OAB的面積為=；

∵A1B1=AB=

∴△OA1B1的面積為=；

∵A2B2=A1B1=2

∴△OA2B2的面積為；

∵A3B3=2

∴△OA3B3的面積為；

…

∴△OAnBn的面積為；

故△ OA2020 B2020 的面積是

故填：(1). (2).