Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)G出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D方向運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，x軸上動(dòng)點(diǎn)B從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度向右運(yùn)動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜2），以AD、AB分別為邊作矩形ABCD，過(guò)點(diǎn)E作雙曲線交線段BC于點(diǎn)F，作CD中點(diǎn)M，連接BE、EF、EM、FM．

（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

（2）若BE平分∠AEF，則t的值為多少？

（3）若∠EMF為直角，則t的值為多少？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)F（2，1）；（2）t＝；（3）t＝4﹣4

【解析】

（1）t=1時(shí)，可以求出E點(diǎn)坐標(biāo)(1，2)，并算出經(jīng)過(guò)它的雙曲線解析式 ，F點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，把B點(diǎn)橫坐標(biāo)x=2代入就可算出F點(diǎn)坐標(biāo)．

（2）因?yàn)?/span>AEBC,所以,又因?yàn)?/span>EB平分,所以, EF=BF, 在通過(guò)坐標(biāo)用含t的代數(shù)式表示EF和BF的長(zhǎng)，建立等量關(guān)系就可以算出t的值．

（3）通過(guò)坐標(biāo)用含t的代數(shù)式分別表示出EM，MF，EF的長(zhǎng)，因?yàn)?/span>是直角，所以是直角三角形，運(yùn)用勾股定理建立等量關(guān)系，算出t即可．

（1）t=1時(shí)，E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),F點(diǎn)橫坐標(biāo)x=2，

設(shè)經(jīng)過(guò)E的雙曲線為，

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，

再把F點(diǎn)橫坐標(biāo)x=2代入，

得y=1,所以F點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)．

（2）因?yàn)?/span>A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，G點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，

則t秒后，E點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為(1,1+t)，

B點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為(1+t，0)，

設(shè)經(jīng)過(guò)E點(diǎn)雙曲線為：，

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，

F點(diǎn)也在雙曲線上，F點(diǎn)橫坐標(biāo)和B相同，

把x=1+t代入函數(shù)得，

y=1,所以F點(diǎn)坐標(biāo)為(1+t，1)，

因?yàn)?/span>AEBC,所以，

又EB平分,所以, EF=BF，

即 ，

解得t=．

（3）因?yàn)?/span>D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，M為DC中點(diǎn)，則M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,)，

又是直角，所以是直角三角形，

由勾股定理，

得： ，

解得t=.