Question

已知邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上，且BE=2CE，連接AE交射線DC于點(diǎn)F，若△ABE沿直線AE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B₁處．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段BC上，求CF的長(zhǎng)；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果題設(shè)中“BE=2CE”改為“

BE

CE

=x”，其它條件都不變，試寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式及自變量x的取值范圍（只要寫出結(jié)論，不需寫出解題過程）．

Answer 1

分析：（1）利用平行線性質(zhì)以及線段比求出CF的值；
（2）本題要分兩種方法討論：①若點(diǎn)E在線段BC上；②若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上．需運(yùn)用勾股定理求出與之相聯(lián)的線段；
（3）本題分兩種情況討論：若點(diǎn)E在線段BC上，y=

9x

2x+2

，定義域?yàn)閤＞0；若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，y=

9x-9

2x

，定義域?yàn)閤＞1．

解答：解：（1）∵AB∥DF，
∴

AB

CF

=

BE

CE

，（1分）
∵BE=2CE，AB=3，
∴

3

CF

=

2CE

CE

，（1分）
∴CF=

3

2

；（1分）

（2）①若點(diǎn)E在線段BC上，如圖1，設(shè)直線AB₁與DC相交于點(diǎn)M．
由題意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．（1分）
設(shè)DM=x，則CM=3-x．
又CF=1.5，
∴AM=MF=

9

2

-x，
在Rt△ADM中，AD²+DM²=AM²，
∴3²+x²=（

9

2

-x）²，
∴x=

5

4

，（1分）
∴DM=

5

4

，AM=

13

4

，
∴sin∠DAB₁=

DM

AM

=

5

13

；（1分）
②若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，如圖2，設(shè)直線AB1與CD延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴

AD

CE

=

DF

FC

，
∴DF=FC=

3

2

，（1分）
設(shè)DN=x，則AN=NF=x+

3

2

．
在Rt△ADN中，AD²+DN²=AN²，
∴3²+x²=（x+

3

2

）²，
∴x=

9

4

．（1分）
∴DN=

9

4

，AN=

15

4

sin∠DAB₁=

DN

AN

=

3

5

；（1分）

（3）若點(diǎn)E在線段BC上，y=

9x

2x+2

，定義域?yàn)閤＞0；（2分）
若點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，y=

9x-9

2x

，定義域?yàn)閤＞1．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形的性質(zhì)，線段比以及勾股定理等相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，注意兩種情況的分析探討．