Question

在直角坐標系XOY中，二次函數圖象的頂點坐標為C(4，-

3

)，且與x軸的兩個交點間的距離為6．
（1）求二次函數解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出Q點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵頂點坐標為C（4，-

3

），且與x軸的兩個交點間的距離為6，
∴對稱軸x=4，A（1，0），B（7，0），
設拋物線解析式y=a（x-1）（x-7），將C點坐標代入可得a=

3

9

，
∴所求解析式為y=

3

9

x²-

8 3

9

x+

7 3

9

；

（2）在x軸上方的拋物線上存在點Q，使得以點Q、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，
因為△ABC為等腰三角形，
∴當AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，過點C作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=

3

∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，過點Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴BE=3，
∴E（10，0），Q(10，3

3

)．
當x=10時，y=

3

9

×10²-

8 3

9

×10+

7 3

9

=3

3

；
∴點Q在拋物線上，由拋物線的對稱性，
還存在一點Q′(-2，3

3

)，使△ABQ′∽△CAB故存在點Q(10，3

3

)或(-2，3

3

)．