Question

【題目】如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AN的長(zhǎng)為2．

【解析】

(1)利用平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)先判定四邊形CDMN是平行四邊形，再判斷其為菱形，利用菱形的性質(zhì)，判斷△MNC為等邊三角形，從而求得∠1=∠2=∠MND=30°，在中，利用特殊角，求出EN，進(jìn)而求出線段AN的長(zhǎng)．

(1)在平行四邊形ABCD中，∠B=∠ADC，AB=CD，

∵M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，

∴BN=BC=AD=DM，

∴△ABN ≌△CDM；

(2)∵在平行四邊形ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，

∴，，

∴四邊形CDMN為平行四邊形，

∵在中，M為AD中點(diǎn)，

∴ MN=MD，

∴平行四邊形CDMN為菱形；

∴∠MND=∠DNC=∠1=∠2，

∵CE⊥MN，∠MND+∠DNC+∠2=90°，

∴∠MND=∠DNC=∠2=30°，

在中，∵PE=1，∠ENP=30°，

∴EN=，

在中，∵EN=，∠2=30°，

NC=2 EN =2，

∵∠MNC=∠MND+∠DNC＝60°，

∴△MNC為等邊三角形，又由(1)可得，MC=AN，

∴AN=MC=NC=2，

∴AN的長(zhǎng)為2．