Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣4x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以AB為邊在第一象限作正方形ABCD，將正方形ABCD沿x軸負(fù)方向平移a個(gè)單位長度后，點(diǎn)C恰好落在雙曲線在第一象限的分支上，則a的值是____．

Answer 1

【答案】3

【解析】如圖作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN與DM交于點(diǎn)F，CN交反比例函數(shù)于H，利用三角形全等，求出點(diǎn)C、點(diǎn)H坐標(biāo)即可解決問題．

解：如圖，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN與DM交于點(diǎn)F，CN交反比例函數(shù)于H．

∵直線y=﹣4x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)A（1，0），

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAM=90°，

∴∠ABO=∠DAM，

在△ABO和△DAM中，∠BOA=∠AMD=90°，∠ABO=∠DAM，AB=AD，

∴△ABO≌△DAM，

∴AM=BO=4，DM=AO=1，

同理可以得到：CF=BN=AO=1，DF=CN=BO=4，

∴點(diǎn)F（5，5），C（4，1），D（5，1），

設(shè)點(diǎn)D在雙曲線y=（k≠0）上，則k=5，

∴反比例函數(shù)為y=，

∴直線CN與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)H坐標(biāo)為（1，5），

∴正方形沿x軸負(fù)方向平移a個(gè)單位長度后，頂點(diǎn)C恰好落在雙曲線y=上時(shí)，a=4﹣1=3，

故答案為3．

“點(diǎn)睛”本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形．