Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），B（8，0）．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿AO運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍；
（2）t為何值時(shí)，△POQ的面積最大？最大值是多少？
（3）t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、0、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（0，6），B（8，0），

∴OA=6，OB=8，

∵點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

∴2t=8，

解得：t=4，

∴0≤t≤4；

（2）

解：根據(jù)題意得：經(jīng)過(guò)t秒后，AP=t，OQ=2t，

∴OP=OA﹣AP=6﹣t，

∵△POQ的面積= OPOQ，

即△POQ的面積= （6﹣t）×2t=﹣t2+6t．

∵a=﹣1＜0，

∴△POQ的面積有最大值，

當(dāng)t=﹣ =3時(shí)，△POQ的面積的最大值= =9，

即當(dāng)t=3時(shí)，△POQ的面積最大，最大值是9．

（3）

解：①若Rt△POQ∽R(shí)t△AOB時(shí)，

∵Rt△POQ∽R(shí)t△AOB，

∴ ，

即 = ，

解得：t= ；

②若Rt△QOP∽R(shí)t△AOB時(shí)，

∵Rt△QOP∽R(shí)t△AOB，

∴ ，

即 ，

解得：t= ．

所以當(dāng)t為 或 時(shí)，以點(diǎn)P、0、Q為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOB相似．

【解析】（1）由點(diǎn)Q從O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，可得：2t=8，解得：t=4，進(jìn)而可得：0≤t≤4；（2）先根據(jù)三角形的面積公式，用含有t的式子表示△POQ的面積=﹣t2+6t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值公式解答即可；（3）分兩種情況討論：①Rt△POQ∽R(shí)t△AOB；②Rt△QOP∽R(shí)t△AOB，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出相應(yīng)的t的值．
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用是解答本題的根本，需要知道對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形；測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．