Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn),以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D。

（1）求證：BC是⊙O切線；
（2）若BD=5,DC=3,求AC的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD；

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．

（2）蛸：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：BE= =4，

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

∴ ．

∴ ．

∴AC=6．

【解析】（1）要證BC是⊙O切線．添加輔助線連接OD，證明OD⊥BC。先根據(jù)角平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)，證出OD∥AC（或∠2+∠ADC=90°），再利用平行線的性質(zhì)得出OD⊥BC，即可證得結(jié)論。
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，得出CD=DE=3，再利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，得出△BDE∽△BAC。得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立方程，求解即可；或證明AE=AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC即可。