Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，三角板的另一條直角邊與AD交于點(diǎn)Q．
（1）請你寫出此時(shí)圖形中成立的一個(gè)結(jié)論（任選一個(gè)）．
（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，有AQ+BC=CQ？請證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在AD的什么位置時(shí)，可證得PC=3PQ？并寫出論證的過程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)即可判斷；
（2）連接CQ，延長QP，交CB的延長線于點(diǎn)E．可證△APQ≌△BPE．即可證得：CQ=CE，據(jù)此即可證得；
（3）首先證得：△APQ∽△BCP，然后對三角形的對應(yīng)邊，分兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）△APQ∽△BCP．（答案不唯一）

（2）當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，有AQ+BC=CQ．
證明：連接CQ，延長QP，交CB的延長線于點(diǎn)E．
可證△APQ≌△BPE．
則AQ=BE，PQ=PE．
又因?yàn)镃P⊥QE，可得CQ=CE，
所以AQ+BC=CQ．

（3）當(dāng)AQ=

2

9

AD時(shí)，有PC=3PQ．
證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB．
又因?yàn)橹苯侨�角板的頂點(diǎn)P在邊AB上，
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°．
因?yàn)镽t△CBP中，∠3+∠2=90°，
所以∠1=∠3．
所以△APQ∽△BCP．
所以

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

．因?yàn)?span id="nikrc7s" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">AQ=

2

9

AD=

2

9

AB，
所以

2 9 AB

AB-AP

=

AP

AB

．所以AP=

1

3

AB，或AP=

2

3

AB（不合題意，舍去）．
所以

PQ

PC

=

AP

BC

=

AP

AB

=

1

3

．
所以PC=3PQ．

點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．