Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，則點A、E之間的距離為4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×$\frac{2}{3}$=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BC=DC=6，AC=EC=3$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，利用等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AE=2AN=4$\sqrt{5}$．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•cosB=9×$\frac{2}{3}$=6，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$．
∵把△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3$\sqrt{5}$，cos∠CAN=cosB=$\frac{2}{3}$，
∴AN=AC•cos∠CAN=3$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=2AN=4$\sqrt{5}$．
故答案為4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性質(zhì)．