Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點(diǎn)A，D，C的拋物線與直線另一個交點(diǎn)為E．

（1）請直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)AB所在直線的解析式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出OA、OB的長．過D作DM⊥y軸于M，則△ADM≌△BAO，由此可得出MD、MA的長，也就能求出D的坐標(biāo)，同理可求出C的坐標(biāo)；
（2）可根據(jù)A、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)F點(diǎn)在A′B′之間時，即當(dāng)0＜t≤1時，此時S為三角形FBG的面積，可用正方形的速度求出AB′的長，即可求出B′F的長，然后根據(jù)∠GFB′的正切值求出B′G的長，即可得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)A′在x軸下方，但C′在x軸上方或x軸上時，即當(dāng)1＜t≤2時，S為梯形A′GB′H的面積，可參照①的方法求出A′G和B′H的長，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高為A′B′即正方形的邊長，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式得出關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)D′逐漸移動到x軸的過程中，即當(dāng)2＜t≤3時，此時S為五邊形A′B′C′HG的面積，S=正方形A′B′C′D′的面積-三角形GHD′的面積．可據(jù)此來列關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）CE掃過的圖形是個平行四邊形，經(jīng)過關(guān)系不難發(fā)現(xiàn)這個平行四邊形的面積實(shí)際上就是矩形BCD′A′的面積．可通過求矩形的面積來求出CE掃過的面積．

解答：解：（1）C（3，2）D（1，3）；

（2）設(shè)拋物線為y=ax²+bx+c，拋物線過（0，1）（3，2）（1，3），

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

，
∴y=-

5

6

x²+

17

6

x+1；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到x軸上時，t=1，
當(dāng)0＜t≤1時，如圖1，
∵∠OFA=∠GFB′，
tan∠OFA=

OA

OF

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

FB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t
∴S_△FB′G=

1

2

FB′×GB′
=

1

2

×

5

t×

5 t

2

=

5

4

t²；
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到x軸上時，t=2，
當(dāng)1＜t≤2時，如圖2，
A′B′=AB=

22+12

=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5 t

2

，
∴S_{梯形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）×A′B′
=

1

2

(

5 t- 5

2

+

5 t

2

)×

5

=

5

2

t-

5

4

；
③當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到x軸上時，t=3，
當(dāng)2＜t≤3時，如圖3，
∵A′G=

5 t- 5

2

，
∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×1×2=1，OA=1，△AOF∽△GD′H
∴

S△GD′H

S△AOF

=(

GD′

OA

)2，
∴S△GD′H=(

3 5 - 5 t

2

)2，
∴S_{五邊形GA′B′C′H}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

)2
=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

；

（4）∵t=3，BB′=AA′=3

5

，
∴S_陰影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}
=AD×AA′=

5

×3

5

=15．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識點(diǎn)，（3）小題中要根據(jù)正方形的不同位置分類進(jìn)行討論，不要漏解．