Question

閱讀下面材料：
若設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根為x₁，x₂，那么由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-，x₁x₂=．∵，∴=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x-x₁）（x-x₂）．于是，二次三項(xiàng)式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
（1）請(qǐng)用上面的方法將多項(xiàng)式4x²+8x-1分解因式．
（2）判斷二次三項(xiàng)式2x²-4x+7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是否能利用上面的方法因式分解，并說明理由．
（3）如果關(guān)于x的二次三項(xiàng)式mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，試求出m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令4x²+8x-1=0，
∵a=4，b=8，c=-1，b²-4ac=64+16=80＞0，
∴x₁=，x₂=，
則4x²+8x-1=4（x-）（x-）；

（2）二次三項(xiàng)式2x²-4x+7在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x²-4x+7=0，
∵b²-4ac=（-4）²-56=-40＜0，
∴此方程無解，
則此二次三項(xiàng)式不能用上面的方法分解因式；

（3）令mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，
由此二次三項(xiàng)式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b²-4ac=4（m+1）²-4m（m+1）（1-m）≥0，
化簡(jiǎn)得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m²+1）≥0，
∵m²+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，
則m≥-1且m≠0時(shí)，此二次三項(xiàng)式能用上面的方法分解因式．
分析：（1）令多項(xiàng)式等于0，得到一個(gè)一元二次方程，利用公式法求出方程的兩解，代入ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）中即可把多項(xiàng)式分解因式；
（2）令二次三項(xiàng)式等于0，找出其中的a，b及c，計(jì)算出b²-4ac，發(fā)現(xiàn)其值小于0，所以此方程無解，故此二次三項(xiàng)式不能利用上面的方法分解因式；
（3）因?yàn)榇硕�次三�?xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三項(xiàng)式等于0，得到的方程無解，即b²-4ac小于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了分解因式，根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，是一道閱讀理解型題，這類題應(yīng)題中所提供的文字材料中獲得相關(guān)的信息，既有考查基礎(chǔ)知識(shí)的又考查自學(xué)能力與探究能力的，信息量大，解題方法靈活，既注重最終結(jié)果，又注重理解過程，主要考查學(xué)生分析、歸納、抽象、類比的能力．本題要求學(xué)生弄清二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式的前提是令二次三項(xiàng)式等于0時(shí)，得到的方程有解，即根的判別式大于等于0，此時(shí)可根據(jù)閱讀材料中的方法進(jìn)行分解因式．學(xué)生作第三問求m范圍時(shí)應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)隱含條件．