Question

（2012•沈陽）已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A，B為射線OM，ON上的動點(diǎn)（點(diǎn)A，B不與點(diǎn)O重合），且AB=4

3

，在∠MON的內(nèi)部，△AOB的外部有一點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的長；
（2）求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上．
（3）如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，F(xiàn)C，OP．
①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，請直接寫出四邊形CDEF的周長的值；
②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．根據(jù)等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)推知AQ=BQ=

1

2

AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函數(shù)的定義可以求得AP的長度；
（2）作輔助線PS、PT（過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T）構(gòu)建全等三角形△APS≌△BPT；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知PS=PT；最后由角平分線的性質(zhì)推知點(diǎn)P在∠MON的平分線上；
（3）利用三角形中位線定理知四邊形CDEF的周長的值是OP+AB．①當(dāng)AB⊥OP時(shí)，根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義可以求得OP的長度；②當(dāng)AB⊥OP時(shí)，OP取最大值，即四邊形CDEF的周長取最大值；當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)，四邊形CDEF的周長取最小值．

解答：（1）解：過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4

3

∴AQ=BQ=2

3

，∠APQ=60°（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=

AQ

AP

∴AP=

AQ

sin∠APQ

=

2 3

sin60°

=

2 3

3 2

=4；

（2）證明：過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S，PT⊥ON于點(diǎn)T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定義）； 
在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，∴∠APS=∠BPT；
又∵∠ASP=∠BTP=90°，AP=BP，
∴△APS≌△BPT，
∴PS=PT（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上；

（3）①∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=

1

2

AB=2

3

，
∴OQ=

AQ

tan30°

=6，
同理：PQ=

AQ

tan60°

=2，
∴OP=8，
∵點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，
∴CD=EF=

1

2

AB，CF=DE=

1

2

OP，
∴四邊形CDEF的周長為：8+4

3

  
②CD和EF是△ABO和△ABP的中位線，
則CD=EF=

1

2

AB=2

3

，
CF和DE分別是△AOP和△BOP的中位線，則CF=DE=

1

2

OP，
當(dāng)AB⊥OP時(shí)，OP為四點(diǎn)邊形AOBP外接圓的直徑時(shí)，OP最大，其值是8，OP一定大于當(dāng)點(diǎn)A或B與點(diǎn)O重合時(shí)的長度是4．
則4+4

3

＜t≤8+4

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、解直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)．解答該題時(shí)，利用了角平分線逆定理--到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線角平分線上．