【題目】直線MN與直線PQ垂直相交于O,點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動,點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動.

(1)如圖1,已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動的過程中,∠AEB的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明變化的情況;若不發(fā)生變化,試求出∠AEB的大。

(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,點(diǎn)A、B在運(yùn)動的過程中,∠CED的大小是否會發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,試求出其值.

(3)如圖3,延長BAG,已知∠BAO、OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長線相交于EF,在AEF中,如果有一個角是另一個角的3倍,試求∠ABO的度數(shù).

【答案】(1∠AEB=135°;(2∠E=67.5°;(3∠ABO60°45°

【解析】試題分析:(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°,再由AEBE分別是∠BAO∠ABO角的平分線得出∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論;

2)延長AD、BC交于點(diǎn)F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°,進(jìn)而得出∠OAB+∠OBA=90°,故∠PAB+∠MBA=270°,再由AD、BC分別是∠BAP∠ABM的角平分線,可知∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,由三角形內(nèi)角和定理可知∠F=45°,再根據(jù)DE、CE分別是∠ADC∠BCD的角平分線可知∠CDE+∠DCE=112.5°,進(jìn)而得出結(jié)論;

3))由∠BAO∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=∠BAO∠EOQ=∠BOQ,進(jìn)而得出∠E的度數(shù),由AE、AF分別是∠BAO∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°,在△AEF中,由一個角是另一個角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.

解:(1∠AEB的大小不變,

直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°

∴∠OAB+∠OBA=90°,

∵AE、BE分別是∠BAO∠ABO角的平分線,

∴∠BAE=∠OAB∠ABE=∠ABO,

∴∠BAE+∠ABE=∠OAB+∠ABO=45°,

∴∠AEB=135°;

2∠CED的大小不變.

延長ADBC交于點(diǎn)F

直線MN與直線PQ垂直相交于O,

∴∠AOB=90°

∴∠OAB+∠OBA=90°,

∴∠PAB+∠MBA=270°

∵AD、BC分別是∠BAP∠ABM的角平分線,

∴∠BAD=∠BAP,∠ABC=∠ABM,

∴∠BAD+∠ABC=∠PAB+∠ABM=135°,

∴∠F=45°

∴∠FDC+∠FCD=135°,

∴∠CDA+∠DCB=225°,

∵DECE分別是∠ADC∠BCD的角平分線,

∴∠CDE+∠DCE=112.5°,

∴∠E=67.5°

3∵∠BAO∠BOQ的角平分線相交于E,

∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ

∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=∠BOQ﹣∠BAO=∠ABO,

∵AE、AF分別是∠BAO∠OAG的角平分線,

∴∠EAF=90°

△AEF中,

有一個角是另一個角的3倍,故有:

①∠EAF=3∠E∠E=30°,∠ABO=60°;

②∠EAF=3∠F∠E=60°,∠ABO=120°;

③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°;

④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°

∴∠ABO60°45°

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(1)求k的值;

(2)若點(diǎn)P(x,y)是第二象限內(nèi)的直線上的一個動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動過程中,試寫出OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

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