Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個(gè)頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，兩邊分別與線(xiàn)段AB、AD交于點(diǎn)E、F，設(shè)BE=x．
（1）若三角板的直角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（2）．求證：△EOF為等腰直角三角形；
（2）在（1）的條件下，若△EOF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若三角板的銳角頂點(diǎn)處于點(diǎn)O處，如圖（3）．
①若DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②直接寫(xiě)出△EOF外接圓的最小半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等可得OA=OD，對(duì)角線(xiàn)互相垂直可得∠AOD=90°，對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角可得∠OAE=∠ODF=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠DOF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△DOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OF，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DF，然后求出AE、AF，再根據(jù)勾股定理求出EF²，然后根據(jù)等腰直角三角形的面積公式求解即可；
（3）①先求出∠BOE=∠DFO，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△BOE和△DFO相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；
②先根據(jù)正弦定理表示出△OEF的外接圓的半徑，從從而確定出EF最小時(shí)，外接圓的半徑最小，然后連接EF，表示出AE、AF，利用勾股定理列式求出EF，再利用不等式求出EF的最小值，從而得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠OAE=∠ODF=45°，
∴∠DOF+∠AOF=90°，
∵∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△AOE和△DOF中，

∠OAE=∠ODF OA=OD ∠AOE=∠DOF

，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，
∴△EOF為等腰直角三角形；

（2）解：∵△AOE≌△DOF，
∴AE=DF，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，BE=x，
∴AE=4-x，AF=BE=x，
在Rt△EOF中，EF²=AE²+AF²=（4-x）²+x²=2x²-8x+16，
∴△EOF的面積為S=

1

4

EF²=

1

2

x²-2x+4；

（3）解：①在正方形ABCD中，∵∠OBE=∠ODF=45°，
∴∠DOF+∠DFO=180°-45°=135°，
∵∠EOF=45°，
∴∠DOF+∠BOE=180°-45°=135°，
∴∠BOE=∠DFO，
∴△BOE∽△DFO，
∴

BE

OD

=

OB

DF

，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴OB=OD=2

2

，
∴

x

2 2

=

2 2

y

，
解得y=

8

x

；

②如圖，連接EF，設(shè)△OEF的外接圓半徑為R，則AE=4-x，AF=4-

8

x

，
∵∠EOF=45°，
∴2R=

EF

sin∠EOF

=

EF

sin45°

，
∴EF最小時(shí)，△EOF外接圓的半徑最小，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

(4-x)2+(4- 8 x )2

=x+

8

x

-4，
∵x+

8

x

≥2

x• 8 x

=4

2

，（當(dāng)且僅當(dāng)x=

8

x

，即x=2

2

時(shí)取等號(hào)），
∴R=

4 2 -4

2× 2 2

=4-2

2

，
即△EOF外接圓的最小半徑為4-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓的綜合題型，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及利用正弦定理求三角形的外接圓的半徑，綜合性較強(qiáng)，難度較大，利用正弦定理求解外接圓的半徑的長(zhǎng)是最簡(jiǎn)便的方法．