Question

如圖，正方向ABCD的邊長為3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，M為AE的中點，過點M作直線分別與AD、BC相交于點P、Q．若PQ=AE，則AP等于 ．

Answer 1

1cm或2cm．

【解析】

試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長，進而利用勾股定理求出AE的長，根據(jù)M為AE中點求出AM的長，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊，對應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長，再利用對稱性確定出AP′的長即可．

試題解析：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點N，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC=PN，

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，

∴tan30°=

即DE=cm，

根據(jù)勾股定理得：AE=cm，

∵M為AE的中點，

∴AM=AE=cm，

在Rt△ADE和Rt△PNQ中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），

∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，

∵PN∥DC，

∴∠PFA=∠DEA=60°，

∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，

在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，

∴AP=cm；

由對稱性得到AP′=DP=AD-AP=3-2=1cm，

綜上，AP等于1cm或2cm．

考點：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．正方形的性質(zhì)；3．解直角三角形．