Question

【題目】如圖，點(diǎn)為外一點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)且，連接并延長交于點(diǎn)，連接，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，的半徑為8．求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠BPA，由，可證∠C+∠CPO=90°，即可推出∠BAP+∠PAO=90°，結(jié)論得證；

（2）作BD⊥AP于點(diǎn)D，先求出AB，OP的長，再求出CP長，根據(jù)△BPD∽△CPO，得出比例線段，求PD的長，則AP可求．

∵AB=BP，

∴∠BAP=∠BPA，

∵，

∴∠BOC=90°，即∠PCO+∠OPC=90°，

∵OA=OC，

∴∠PAO=∠C，

∵∠BPA=∠CPO，

∴∠BAP+∠PAO=90°，

∴∠BAO=90°，

又∵點(diǎn)為上一點(diǎn)，

∴是的切線；

（2）如圖，作BD⊥AP于點(diǎn)D，

在Rt△ABO中，OB=10，OA=8，

則AB=6，OP=4，

在Rt△CPO中，PO=4，CO=8，

則，

∵BA=BP，

∴AD=PD，

∵∠COP=90°，

∵∠BDP=90°，∠BPD=∠CPO，

∴△BPD∽△CPO，

∴，即，

∴，

∴．